Даны числа a1 , . . . , a10 . Известно, что у каждого из десяти квадратных трехчленов x2−a1x+a2 , x2−a2x+a3 , ..., x2−a9x+a10 , x2−a10x+a1 не больше одного корня. Докажите, что все числа ai не превосходят 4.

Question

Даны числа a1 , . . . , a10 . Известно, что у каждого из десяти квадратных трехчленов x2−a1x+a2 , x2−a2x+a3 , ..., x2−a9x+a10 , x2−a10x+a1 не больше одного корня. Докажите, что все числа ai не превосходят 4.

Гость

Ответ(ы) на вопрос:

Accepted Answer

a1^2 <= 4a2 a2^2 <= 4a3 ... a10^2 <= 4a1 Отметим, что все ai >= 0. Пусть A - наибольшее число из всех ai. Тогда для какого-то aj выполнено A^2 <= 4aj <= 4A A^2 - 4A <= 0 Если A > 4, то неравенство нарушится.