Даны две точки: M, лежащая в плоскости OXZ, и P (1;2;1), причем абсцисса точки M равна ее аппликате. прямая PM составляет с плоскостью XOY угол 30 градусов. найдите координаты точки M.

Обозначим абсциссу точки М х. Тогда М (х ; 0 ; х). Р (1 ; 2 ; 1) Координаты вектора РМ ( x - 1 ; - 2 ; x - 1). N - проекция точки Р на плоскость XOY. N (1 ; 2 ; 0) Координаты вектора NP (0 ; 0 ; 1) Прямая РМ составляет с плоскостью XOY угол 30°, значит угол между векторами РМ и NP  равен 60° или 120°. ↑PM · ↑NP = (x - 1) · 0 + (- 2) · 0 + (x - 1) · 1 = x - 1 |↑PM| = √((x - 1)² + 4 + (x - 1)²) = √(2(x - 1)² + 4) |↑NP| = √(0² + 0² + 1²) = 1 1) cos60° = (↑PM · ↑NP) / (|↑PM| · |↑NP|) 1/2 = (x - 1) / √(2(x - 1)² + 4) 2(x - 1) = √(2(x - 1)² + 4)                          ОДЗ: x - 1 ≥ 0           х ≥ 1 4(x - 1)² = 2(x - 1)² + 4 (x - 1)² = 2 x - 1 = √2              x - 1 = - √2 x = √2 + 1              x = - √2 + 1 - не входит в ОДЗ M (√2 + 1 ; 0 ; √2 + 1) 2) cos 120° = (↑PM · ↑NP) / (|↑PM| · |↑NP|) - 1/2 = (x - 1) / √(2(x - 1)² + 4) - 2(x - 1) = √(2(x - 1)² + 4)                          ОДЗ: x - 1 ≤ 0           х ≤ 1 4(x - 1)² = 2(x - 1)² + 4 (x - 1)² = 2 x - 1 =  - √2              x - 1 = √2 x = - √2 + 1              x = √2 + 1 - не входит в ОДЗ M (- √2 + 1 ; 0 ; - √2 + 1)