Даны координаты вершин пирамиды А1 А2 А3 А4. Средствами векторной алгебры найти: 1) угол Между рёбрами А1А2и А1А4; 2) площадь грани А1 А2 А3; 3) проекцию вектора А1А3на вектор А1А4; 4) объём пирамиды А1(2, 4, 3), А2(7, 6, 3...

1) Определяем векторы А1А2 и А1А4: А1А2 =(7-2=5; 6-4=2; 3-3=0) = (5; 2; 0), А1А4 = (3-2=1; 6-4=2; 7-3=4) =(1; 2; 4). Угол между рёбрами А1А2 и А1А4: [latex] \alpha =arc cos \frac{|5*1+2*2+0*4|}{ \sqrt{5^2+2^2+0^2} * \sqrt{1^2+2^2+4^2} } = arccos\frac{9}{ \sqrt{29}* \sqrt{21} } =arccos0,364698[/latex] =1,197487 радиан = 68,61098 градуса. 2) площадь грани А1 А2 А3: Площадь треугольника образованного векторами a и b равна половине модуля векторного произведения этих векторов. Вектор А1А2  найден. Находим вектор А1А3: = (4-2=2; 9-4=5; 3-3=0) = (2; 5; 0). S = (1/2)*|a × b|. c =a × b =   (2·0 - 0·5) -  (5·0 - 0·2) +  (5·5 - 2·2) =  =  (0 - 0) -  (0 - 0) +  + (25 - 4) = {0; 0; 21} |a x b| = √(cx² + cy² + cz²) = √(0² + 0² + 21²) = √(0 + 0 + 441) = √441 = 21. Найдем площадь треугольника:S = (1/2)*21 = 10.5. 3) Проекция вектора А1А3 на вектор А1А4. Пр ba = (a · b)/|b| Найдем скалярное произведение векторов :a · b = ax · bx + ay · by + az · bz =  5 · 1 + 2 · 2 + 0 · 4 = 5 + 4 + 0 = 9 Найдем модуль вектора :|b| = √(bx² + by² + bz²) = √(1² + 2² + 4²) =  √(1 + 4 + 16) = √21 Пр ba = 9/√21 = 3√21/7 ≈ 1.963961. 4) Объём пирамиды. Объем пирамиды равен:  (AB{x1, y1, z1} ; AC{x2, y2, z2} ; AS{x3, y3, z3})= x3·a1+y3·a2+z3·a3 Находим третий вектор : AS = {Sx - Ax; Sy - Ay; Dz - Az} = {3 - 2; 6 - 4; 7 - 3} = {1; 2; 4}. V = (1/6)|AB · [AC × AD]|. Находим смешанное произведение векторов: AB · (AC × AS) = 5·5·4 + 2·0·1 + 0·2·2 - 0·5·1 - 2·2·4 - 5·0·2 = 100 + 0 + 0 - 0 - 16 - 0 = 84 Найдем объем пирамиды: V = (1/6)·84 = 14.