Даны вершины тетраэдра А(1,2,1), B(2,-3,4), C(-4,5,1), D(-1,2,-3). Найти: 1).длину ребра АВ  2)угол между ребрами АВ и АD 3)угол между ребром AD и плоскостью  AB  4)объем тетраэдра ABCD 5) урвнение ребра AB 6) уравнение плоскос...

1) Вектор АВ=(1,-5,3) ,  |AB|=[latex] \sqrt{1+25+9}= \sqrt{35} [/latex] 5) Уравнение АВ (канокическое):  [latex]\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{-5}=\frac{z-1}{3}[/latex] 2)Вектор АD=(-2,0,-4) , |AD|=[latex] \sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\\AB\cdot{AD}=-2+0-12=-14\\cos(AB,AD)=cos \alpha =\frac{-14}{\sqrt{35}\cdot{2\sqrt{5}}}=\frac{-7}{5\sqrt{7}}}=-\frac{\sqrt{7}}{5} , \alpha = \pi -arccos\frac{\sqrt{7}}{5}[/latex] 4)Объём пирамиды равен [latex]V=\pm\frac{1}{6}(AB,AC,AD)[/latex] (AB,AC,AD) - смешанное произведение векторов = определителю 3-го порядка. АВ=(1,-5,3), АС=(-5,3,0),A=(-2,0,-4).Составим определитель: [latex] \left[\begin{array}{ccc}1&-5&3\\-5&3&0\\-2&0&-4\end{array}\right]=1\cdot{(-12-0)+5(20-0)+3(0+6)=106 [/latex] V=106/6 6)Ищем нормальный вектор плоскости АВС как векторное произведение векторов АВ и АС: [latex][AB,AC]= \left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\1&-5&3\\-5&3&0\end{array}\right]=i(0-9)-j(0+15)+k(3-25)= [/latex] [latex]=-9i-15j-22k , n=(9,15,22)[/latex] Уравнение плоскости АВС: 9(х-1)+15(у-2)+22(z-1)=0, 9x+15y+22z-61=0 7) Уравнение высоты из точки D на пл. АВС.Направляющим вектором для DO будет нормальный вектор пл.АВС, тогда имеем каноническое уравнение DO: [latex]\frac{x+1}{9}=\frac{y-2}{15}=\frac{z+3}{22} , \left \{ {{x=9t-1} \atop {y=15t+2} }\atop {z=22t-3} }\right. [/latex] 8) Проекцию точки D на пл.АВС найди как пересечение прямой DO и пл.АВС, используя параметрическое уравнение DO. 9(9t-1)+15(15t+2)+22(22t-3)-61=0 81t+225t+484t-106=0 790t=106, t=106/790=53/395 Точка пересечения имеет координаты: х=9*(53/395) -1=...,у=15*(53/395)+2=... z=22*(53/395)-3=...