Диагонали АС и BD трапеции АВСD пересекаются в точке O. Площади треугольников АОD и ВОС равны соответственно 25 см^2 и 16см^2. Найдите площадь трапеции.

Треугольники АОD и ВОС подобны с коэффициентом подобия 4/5. Пусть высота трапеции равна 9х. Тогда высота треугольника BOC равна 4х, а высота треугольника AOD равна 5 х. Площадь ВОС равна 1/2*ВС*4х, откуда сторона ВС равна 8/х Площадь АОD равна  1/2*АD*5х, откуда AD равна 10/х Площадь трапеции равна (10/х+8/х)9х*2=81

Треугольники АОД и ВОС - подобны (все углы равны). Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия, то есть: к² =25/16 к = 5/4 Значит АО/ОС = ОД/ОВ = 5/4                  (1) Воспользуемся формулой для площади тр-ка через две стороны и синус угла между ними (пусть угол АОД = углу ВОС = α): S(АОД) = (1/2)*АО*ОД*sinα = 25 S(ВОС) = (1/2)*ВО*ОС*sinα = 16 Теперь из второго выразим ВО и ОС: ВО = 32/(ОС*sinα);  ОС = 32/(ВО*sinα)      (2) Эти формулы пригодятся при нахождении площадей тр-ов АОВ и СОД: S(АОВ) = (1/2)*АО*ОВ*sin(π-α);   S(СОД) = (1/2)*ОД*ОС*sin(π-α)       (3) Подставим (2) в (3) и учтем, что sin(π-α)=sinα : S(АОВ) = 16*(АО/ОС);    S(СОД) = 16*(ОД/ОВ) С учетом (1) получим что эти треугольники равновеликие и их площади равны: S(АОВ) = S(СОД) = 16 *(5/4) = 20 см². Площадь всей трапеции состоит из площадей 4-х треугольников: S(АВСД) = 25 + 16 + 2*20 = 81 см² Ответ: 81 см².