Диагонали трапеции равны 8 и 15. Найдите площадь этой трапеции если её средняя линия равна 8,5.

АВСД - трапеция ,  АС=8 см, ВД=15 см, ср. линия = 8,5 см . Найти S трапеции.  Проведём прямую СК║ВД до пересечения с АД .  Получим параллелограмм ВСКД : ВС=КД=8 см.  Также получим ΔАСК:  АК=АД+ДК=АД+ВС  (сумма оснований трапеции). Высота СН явл. как высотой ΔАСК, так и высотой трапеции.  Поэтому площадь ΔАСК равна площади самой трапеции. Так как дана средняя линия  [latex]l= \frac{a+b}{2} =8,5[/latex]  , то можно найти длину АК:  [latex]AK=a+b=2\cdot 8,5=17[/latex]  .  Теперь ,зная три стороны, можно найти площадь треугольника по формуле Герона. Но заметим, что боковые стороны ΔАСК :  СК=ВД=15 см и АС=8 см, явл. катетами прямоугольного треугольника, так как [latex]AC^2+CK^2=8^2+15^2=64+225=289\\\\\sqrt{289}=17=AK[/latex] Поэтому площадь вычислим как полупроизведение катетов: [latex]S=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot CK=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 15=60[/latex]