Длина диагонали равнобедренной трапеции равна 12, длина боковой стороны равна 4, синус угла при основании равен 0,9 вычислить [latex]sin\frac{\alpha}{2}[/latex] где [latex]\alpha[/latex] - острый угол между диагоналями трапеции.

Как все любят усложнять :(((( Этот угол α/2 очевидно равен углу, который диагональ образует с большим основанием. (*) Поэтому по теореме синусов 4/sin(α/2) = 12/0,9; sin(α/2) = 0,3. это все решение.   (*) обоснование этого простого факта - биссектриса острого угла между диагоналями перпендикулярна биссектрисе тупого угла между ними (биссектрисы смежных углов), а биссектриса тупого угла - это биссектриса угла при вершине равнобедренного треугольника, образованного большим основанием и двумя равными отрезками диагоналей. Такая биссектриса перпендикулярна основанию, поэтому биссектриса смежного угла параллельна основанию, и угол между ней и диагональю равен углу между диагональю и основанием, как соответственные углы между параллельными и секущей.  Все это долго записывается, но соображается моментально :)