Для чисел 1,1,2,3,5,8,... дана следующая формула [latex] F_{1} = 1, F_{2} = 1, F_{3} = 2, F_{n} = F_{n-1} + F_{n-2} [/latex] Доказать с помощью индукции, что [latex] F_{3k}[/latex] выдает всегда четные числа.

докажем методом математической индукции что 0) F(3n-2) – нечетное, F(3n-1) – нечетное, F(3n) – четное, - исследуемое утверждение 1) убедимся что при n=1 верно (0): действительно по условию F(1)=1 – нечетное, F(2)=1 – нечетное, F(3) – четное, 2) предположим что при n=к верно (0): F(3n-2) – нечетное, F(3n-1) – нечетное, F(3n) – четное, а именно F(3к-2) – нечетное, F(3k-1) – нечетное, F(3k) – четное, 3) проверим, или справедливо для n=k+1 утверждение (0): так как F(3к-2) – нечетное, F(3k-1) – нечетное, F(3k) – четное, (см.2) то F(3k+1)=F(3k-1) +F(3k) =нечетное+четное=нечетное, (3.1) то F(3k+2)=F(3k) +F(3k+1) =четное+нечетное=нечетное, (3.2) то F(3k+3)=F(3k+1) +F(3k+2) =нечетное+нечетное=четное, (3.3) F(3n-2)=F(3(к+1)-2)=F(3к+3-2)=F(3к+1) – нечетное, см.(3.1) F(3n-1)=F(3(к+1)-1)=F(3к+3-1)=F(3к+2) – нечетное, см.(3.2) F(3n)=F(3(к+1))=F(3к+3) – нечетное, см.(3.3) так как для n=k+1 утверждение (0) истинно — значит (0) доказано методом матем индукции