Для каких натуральных n число (а2+в2)n (в степени n) , где а и в- различные натуральные числа, является суммой квадратов двух натуральных чисел?

Это верно при всех натуральных n. Можно доказать по индукции. При n=1 это очевидно верно, т.к. [latex](a^2+b^2)^1=a^2+b^2.[/latex] Предположим, что это верно при n, т.е. верно [latex](a^2+b^2)^n=c^2+d^2.[/latex] Тогда [latex](a^2+b^2)^{n+1}=(c^2+d^2)(a^2+b^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2.[/latex] Т.е. по этим формулам для всех степеней n можно последовательно получать представления в виде суммы квадратов из любой начальной пары а и b. Например, пусть a=1, b=2. [latex](1^2+2^2)^1=1^2+2^2[/latex] [latex](1^2+2^2)^2=3^2+4^2[/latex] [latex](1^2+2^2)^3=5^2+10^2[/latex] [latex](1^2+2^2)^4=15^2+20^2[/latex] [latex](1^2+2^2)^5=25^2+50^2[/latex] и т.д.