Для премий на математической олимпиаде выделено три экземпляра одной книги, четыре - другой,  восемь - третьей. Сколькими способами могут быть распределены эти премии между пятнадцатью победителями олимпиады

берём 15 победителей и ставим их аккуратно в линеечку :) а 15 книг начинаем переставлять между ними (уточним задачу - книги наверняка должны быть розданы по 1 каждому, а то ведь можно роздать кому по 2 и больше а кому и ничего): 1) берём первые 3 книги 15 победителям можем их роздать так: первую книгу мы можем роздать 15 вариантами, останется 14 детей и 2-рую книгу мы можем роздать 14 вариантами, ну и третью 13 вариантами оставшимся детям. Но поскольку книги одинаковые то у нас получится много одинаковых роздач, а точнее по 6 одинаковых роздач каждого вида. Почему шесть, для ответа рассмотрим роздачи 1, 2, и 3 победителям: поскольку мы книги роздавали по 1 (сначало 1, поток 2, потом 3) то щитаем что они у нас пронумерованы. 1 побед(1 книга) - 2 (2) - 3 (3) 1 (1) - 2 (3) - 3 (2) 1 (2) - 2 (1) - 3 (3) 1 (2) - 2 (3) - 3 (1) 1 (3) - 2 (1) - 3 (2) 1 (1) - 2 (2) - 3 (1) надеюсь суть уловили. поскольку по 6 одинаковых, то число роздач надо разделить на 6, получим: [latex]\frac{15\cdot14\cdot13}{2\cdot3}[/latex] Осталось 12 победителей, роздаем им 4 книги, аналогично описанному выше: [latex]\frac{12\cdot11\cdot10\cdot9}{2\cdot3\cdot4}[/latex] ну а уж тем 8 кому не досталось книг типа 1 или 2 с почестями и с одним однозначным вариантов вручаем книгу типа 3. а в результате получим: [latex]P=\frac{12\cdot11\cdot10\cdot9}{2\cdot3\cdot4}\frac{15\cdot14\cdot13}{2\cdot3}=\frac{15\cdot14\cdot13\cdot12\cdot11\cdot10\cdot9}{2\cdot3\cdot4\cdot2\cdot3}[/latex] А если вы чтото слышали о Комбинаторике и формулах: [latex]C_n^k=\frac{n!}{(n-k)!k!}[/latex] то можете смело и без лишних слов написаить в ответе: [latex]P=C_{15}^3C_{12}^4=\frac{15!}{12!3!}\frac{12!}{8!4!}=\frac{15!}{8!4!3!}[/latex] Ответ: [latex]\frac{15!}{8!4!3!}[/latex]