Доказать, что 1 + 2 + 2^2 + ... + 2^2016 не делится на 3.

  [latex] S_{n} = \frac{2^{2017}-1}{2-1} = 1+2+2^2+...+2^{2016} \\ S_{n} = 2^{2017}-1\\ [/latex]  Остатки периодичны при делений данного числа на [latex]3[/latex]  и равны   [latex]1;2[/latex] когда степени  четны и не четны соответственно ,  (можно это доказать применив  к примеру Бином Ньютона) , так как  [latex]2017[/latex]  не четная , то остаток равен [latex]2[/latex] , то есть  [latex] 2^{2017} \equiv 2 \ mod \ 3 [/latex]  , значит  [latex] 2^{2017}-1[/latex] не делится на [latex]3 [/latex]