Доказать, что, если сумма цифр числа равна 9,  то всё число делится на 9.

Пусть N=...abcd, где a, b, c, d - цифры. Само число N= d+10c+100b+1000a+... 2N=2d+10*2c+100*2b+1000*2a+...Если какие-либо из цифр a, b, c, d больше 4, то  2N=(2d-10)+10(2c+1-10)+100(2b+1)+1000*2a+... Запишем равенство суммы цифр чисел N и 2N.  d+c+b+a+...=(2d-10)+(2c-9)+(2b+1)+2a+...=2d+2c+2b+2a-9k+...где k-нат. число.  Отсюда d+c+b+a+...=9k, где k-нат. число. Значит N делится на 9.