Доказать, что функция у=f(x) является периодической с периодом [latex]2 \pi [/latex] , если: 1) [latex]y=sin(x- \frac{ \pi }{4} )[/latex] 2)[latex]y=cos(x+ \frac{2 \pi }{3} )[/latex]

Докажем за определением периодической функции: f(x) = f(x + T) = f(x − T) (условие на область определения оно выполняется, так как синус и косинус определены на множестве всех действительных числе) 1) покажем, что выполняется [latex]sin(x-\frac{\pi}{4})=sin(x-\frac{\pi}{4}+2\pi)=sin(x-\frac{\pi}{4}-2\pi)[/latex] Это и будет означать за определением в случае синуса, что функция  [latex]sin(x-\frac{\pi}{4})[/latex] периодична с периодом [latex]2\pi[/latex]. [latex]sin(x-\frac{\pi}{4}+2\pi)=sin(x-\frac{\pi}{4})cos(2\pi)+cos(x-\frac{\pi}{4})sin(2\pi)=[/latex] [latex]=sin(x-\frac{\pi}{4})*1+cos(x-\frac{\pi}{4})*0=sin(x-\frac{\pi}{4})[/latex] [latex]sin(x-\frac{\pi}{4}-2\pi)=sin(x-\frac{\pi}{4})cos(2\pi)-cos(x-\frac{\pi}{4})sin(2\pi)=[/latex] [latex]=sin(x-\frac{\pi}{4})*1-cos(x-\frac{\pi}{4})*0=sin(x-\frac{\pi}{4})[/latex] Доказано 2) [latex]cos(x+\frac{2\pi}{3}+2\pi)=cos(x+\frac{2\pi}{3})cos(2\pi)-sin(x+\frac{2\pi}{3})sin(2\pi)=[/latex] [latex]=cos(x+\frac{2\pi}{3})*1-sin(x+\frac{2\pi}{3})*0=cos(x+\frac{2\pi}{3})[/latex] [latex]cos(x+\frac{2\pi}{3}-2\pi)=cos(x+\frac{2\pi}{3})cos(2\pi)+sin(x+\frac{2\pi}{3})sin(2\pi)=[/latex] [latex]=cos(x+\frac{2\pi}{3})*1+sin(x+\frac{2\pi}{3})*0=cos(x+\frac{2\pi}{3})[/latex] Доказано