Доказать, что из всех прямоугольников, вписанных в данный круг радиусом  R, наибольшую площадь имеет квадрат.

Пишем функцию площади от длины стороны прямоугольника: [latex]S(x)=x\cdot y\\ x^2+y^2=(2R)^2 \ \ \ =>y=\sqrt{4R^2-x^2} \\ S(x)=x\sqrt{4R^2-x^2}[/latex] Находим экстремум: [latex]S'(x)=\sqrt{4R^2-x^2}-\frac{x^2}{\sqrt{4R^2-x^2}}=\frac{4R^2-2x^2}{\sqrt{4R^2-x^2}}\\ S'(x)>0 \ \ \ <=> \ \ \ 2R^2>x^2 \ \ \ <=> \ \ \ x \in(-\sqrt{2}R,\sqrt{2}R)[/latex] Так, как [latex]x[/latex] это длина стороны он не может получать отрицательные значения, следовательно экстремум всего один [latex]x=\sqrt{2}R[/latex] Находим [latex]y[/latex] (хотя одного отношения радиуса к стороне достаточно, чтоб сказать что фигура - квадрат): [latex]y=\sqrt{4R^2-x^2} \ : \ x=\sqrt{2}R\ \ \ => \ \ \ y=\sqrt{4R^2-2R^2}=\sqrt{2}R \\ x=y[/latex] Что и требовалось доказать.