Доказать, что когда а²+b²+c²=ab+ac+bc, то а= b=c

[latex]a^2+b^2+c^2=ab+bc+ac.[/latex] Из неравенства Коши ([latex]\sqrt{xy} \leq \frac{x+y}{2}[/latex]) имеем: [latex]ab \leq \frac{(a+b)^2}{4}, \ bc \leq \frac{(b+c)^2}{4}, \ ac \leq \frac{(a+c)^2}{4}.\\ ab \leq \frac {a^2+2ab+b^2}{4}= \frac{a^2+b^2}{4}+\frac{ab}{2};\\ ab \leq \frac{a^2+b^2}{2}.[/latex] Аналогично для bc и ac. [latex]ab+bc+ac \leq \frac{a^2+b^2}{2} + \frac{b^2+c^2}{2} + \frac{a^2+c^2}{2} = a^2+b^2+c^2. [/latex] Равенство в этом выражении достигается лишь при условии, что  [latex]a = b, \ b = c, \ a = c.[/latex]