Доказать что модуль х-у/1-ху меньше 1, если модуль х и модуль у меньше 1

Нужно доказать, что [latex]\frac {|x-y|}{|1-xy|}<1[/latex] так как левая и правая части неотрицательны, это неравенство равносильно следующему (поднесем обе части к квадрату, чтобы избавиться от модуля так как |a|^2=a^2)   [latex]\frac {(x-y)^2}{(1-xy)^2}<1; \frac {x^2-2xy+y^2}{1-2xy+x^2y^2}-1<0; \frac {x^2-2xy+y^2-(1-2xy+x^2y^2)}{(1-xy)^2}<0; [/latex] [latex]\frac {x^2-2xy+y^2-1+2xy-x^2y^2}{(1-xy)^2}<0; \frac {x^2+y^2-1-x^2y^2}{(1-xy)^2}<0; [/latex]   так как [latex](1-xy)^2>0[/latex] (0 не может быть потому что знаменатель не может быть равным 0, а квадрат выражения всегда неотрицателен), то нужно доказать что справедливо неравенство [latex]x^2+y^2-1-x^2y^2<0; -(1-x^2)+y^2(1-x^2)<0; (y^2-1)(1-x^2)<0;[/latex] то справедливо так как (y^2-1<0; y^2<1; |y|<1) (|x|<1; x^2<1; 1-x^2>0) (один из множителей отрицателен, другой положителен - значит и произведение отрицательное). Таким образом цепочкой равносильных преобразований мы пришли к справедливому неравенству. Доказано