Доказать, что разность квадратов двух целых чисел не может быть равна 30.  

x^2-y^2=(x+y)(x-y) Если оба числа чётные, то множители тоже четные, каждый делится на два, произведение делится на четыре, а 30 не делится на четыре. Если оба числа нечётные, то множители четные, аналогично 30 не подходит. Если числа разные по чётности, сумма и разность - нечетётная, а произведение нечётных чисел - нечётное. 30 - чётное.  

рассмотрим систему уравнений x+y=a  x-y=b   сложив уравнения получим 2x=a+b т.е. a и b либо оба четные либо оба нечетные. А число 30 непредставимо ввиде двух сомножителей такого вида. 2*15=3*10=5*6 -  ни одна пара не удовлетворяет нашему свойству.