Доказать, что сумма расстояний от любой точки в середине треугольника до трех его вершин больше полупериметр, но меньше периметр треугольника. Заранее спасибо!

Треугольник АВС, точка М внутри треугольника. Продолжим BM до пересечения со стороной AC в точке N. Тогда AB+AN > BN=BM+MN              MN+NC>MC. Сложив почленно эти неравенства, получим: AB+AN+NC+MN > MN+BM+MC, или AB+AC+MN > BM+MC+MN. Отсюда следует, что AB+AC > BM+MC.      Исходя из этогои следует, что для точки M , лежащей внутри треугольника ABC, верны неравенства: MB+MC < AB+AC, MB+MA < AC+BC, MA+MC < AB+BC. Сложив их почленно, получим 2(MA+MB+MC)<2(AB+BC+AC). Отсюда следует, что указанная сумма расстояний меньше периметра треугольника: (MA+MB+MC)<Р. Применяя неравенство треугольника к треугольникам AMC, BMC и AMB, получим AM+MC>AC, BM+MC > BC AM+MB > AB, Сложив их почленно, получим: Откуда 2(AM+BM+CM)>(AB+AC+BC). AM+BM+CM>1/2(AB+AC+BC). Указанная сумма расстояний больше полупериметра треугольника:  AM+BM+CM>1/2Р