Доказать, что выражение x в квадрате +8x+18 принемает положительное значение при любом x.Какое наименьшее значение принемает это выражение и прикаком x?

Дискриминант меньше нуля; (х+4)^2+2; Наименьшее значение 2

Рассматривается выражение [latex]y = x^2 + 8x + 18[/latex]   Докажем, что y положительно при любом значении x. Допустим, что это не так. Найдём такие x, при которых y ≤ 0. Для этого решим неравенство:   [latex]x^2 + 8x + 18 \leq 0 \Leftrightarrow x^2 + 8x + 16 + 2 \leq 0 \Leftrightarrow \left(x + 4\right)^2 + 2 \leq 0[/latex]   Или   [latex]\left(x + 4\right)^2 \leq -2[/latex]   Что не имеет решений, так как [latex]\left(x + 4\right)^2 \geq 0 \;\; \forall x[/latex]   Мы пришли к противоречию. Следовательно, [latex]y = x^2 + 8x + 18[/latex] принимает положительное значение при любых x.   Для нахождения наименьшего значения найдём [latex]\frac{dy}{dx}[/latex]:   [latex]\frac{dy}{dx} = 2x + 8[/latex]   Приравняв его 0, найдём точку экстремума:   [latex]2x + 8 = 0 \Rightarrow x = -4[/latex]   Убедимся, что найденная точка — действительно минимум.   [latex]\frac{dy}{dx}|_{x=-5} = -10 + 8 = -2 < 0[/latex]   [latex]\frac{dy}{dx}|_{x=-3} = -6 + 8 = 2 > 0[/latex]   Итак, первая производная меняет в точке [latex]x = -4[/latex] знак с "-" на "+", следовательно, в этой точке мы действительно имеем минимум.   Значение y при x = -4:   [latex]y|_{x=-4} = (-4)^2 + 8 \cdot (-4) + 18 = 2[/latex]