Докажите, что четырехугольник PSQT, заданный координатами своих вершин P(3;0),S(-1;3),Q(-4;-1),T(0;-4), является квадратом и вычислите его площадь.

Координаты вектора равны разности соответствующих координат точек его конца и начала ab{х2-х1;y2-y1}. Модуль или длина вектора: |a|=√(x²+y²). cosα=(x1*x2+y1*y2)/[√(x1²+y1²)*√(x2²+y2²)]. В нашем случае: Вектор PS(-1-3;3-0) или PS(-4;3) |PS|=√((-4)²+3²)=5. Вектор SQ(-4-(-1);-1-3) или SQ(-3;-4) |SQ|=√((-3)²+(-4)²)=5. Вектор QT(0-4;-4-(-1)) или QT(-4;-3) |QT|=√((-4)²+(-3)²))=5. Вектор PT(0-3;-4-0) или PT(-3;-4) |PT|=√((-3)²+(-4)²))=5. Итак, четырехугольник PSQT параллелограмм (так как его противоположные стороны попарно равны. А поскольку все его стороны равны, то это или ромб, или квадрат. Найдем один из углов четырехугольника между сторонами PS и PT (этого достаточно). cosα=(Xps*Xpt1+Yps*Ypt)/[√(Xps²+Yps²)*√(Xpt²+Ypt²)]. Или cosα=((-4)*(-3)+3*(-4))/(5*5)=0/25=0. Следовательно, этот угол прямой. А так как "если в параллелограмме все стороны равны и среди внутренних углов есть прямой угол, то это квадрат", делаем вывод: четырехугольник PSQT - квадрат, что и требовалось доказать.