Докажите, что диаметр окружности вписанной в равнобедренную трапецию есть среднее пропорциональное между её основаниями.

Если обозначить диаметр окружности через d, то нужно получить, что d=ab−−√. Так как окружность вписана в трапецию, то c+c=a+b⇒c=a+b2. c + c = a + b ⇒ c = a + b 2 . По теореме Пифагора из треугольника на рисунке запишем h2=c2−(a−b2)2=(a+b2)2−(a−b2)2==(a+b2−a−b2)(a+b2+a−b2)=2b2∗2a2=ab. h 2 = c 2 − ( a − b 2 ) 2 = ( a + b 2 ) 2 − ( a − b 2 ) 2 = = ( a + b 2 − a − b 2 ) ( a + b 2 + a − b 2 ) = 2 b 2 ∗ 2 a 2 = a b . Заметим, что d=h. d = h . Тогда окончательно получим d2=ab⇒d=ab−−√. d 2 = a b ⇒ d = a b . Ответ доказано.