Докажите, что для любого натурального числа n, найдутся две различные степени числа 7, разность которых кратна n.

Здесь надо делать по теореме Эйлера, которая говорит, что если а и m взаимно просты, то [latex]a^{\varphi(m)}-1[/latex] всегда делится на m. Здесь [latex]\varphi(m)[/latex] - функция Эйлера, которая равна количеству натуральных чисел не превосходящих m и взаимно простых с m. Если это использовать, то решение такое.Число n всегда можно записать в виде [latex]7^km,[/latex] где k≥0, m≥1 и m взаимно просто с 7. Тогда по теореме Эйлера число [latex]7^{k+\varphi(m)}-7^k[/latex] делится на n, т.к. оно равно[latex]7^k(7^{\varphi(m)}-1).[/latex]