Докажите, что если a²+b²+c²=1, то -1/2≤a+b+c≤1

это оценка грубая,на самом деле  [latex]a^2+b^2+c^2=1\\ [/latex]  представим  [latex]\frac{ (a^2+b^2)+(b^2+c^2) + (a^2+c^2) }{2}=1\\ [/latex]  так как [latex] a^2+b^2 \geq 2ab\\ b^2+c^2 \geq 2bc\\ a^2+c^2 \geq 2ac[/latex]  [latex]a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-(2ab+2ac+2bc)\\ [/latex]   откуда [latex] ab+bc+ac \leq 1 \\ (a+b+c)^2 \leq 1+2*1\\ a+b+c \leq \sqrt{3}[/latex]  а минимальное  [latex] -\sqrt{2}[/latex]  то есть   [latex] -\sqrt{2} \leq a+b+c \leq \sqrt{3}[/latex]   которая лучше оценки   [latex] -\frac{1}{2} \leq a+b+c \leq 1[/latex]