Докажите, что если a,b и y-углы треугольника,то верно равенство   [latex]tg\frac{\alpha}{2}*tg\frac{\beta}{2}+tg\frac{\beta}{2}*tg\frac{\gamma}{2}+tg\frac{\gamma}{2}*tg\frac{\alpha}{2}=1[/latex]

Так как сумма углов в треугольнике равна [latex]\alpha+\beta+\gamma=\pi[/latex], то вместо [latex]\gamma[/latex] запишем [latex]\pi-\alpha-\beta[/latex].   Тогда   [latex]\tan\frac{\alpha}{2}\tan\frac{\beta}{2}+\tan\frac{\beta}{2}\tan\frac{\pi-\alpha-\beta}{2}+\tan\frac{\pi-\alpha-\beta}{2}\tan\frac{\alpha}{2}\quad (*)[/latex]   Вычислим отдельно тангенс. [latex]\tan\frac{\pi-\alpha-\beta}{2}=\frac{\sin\frac{\pi-\alpha-\beta}{2}}{\cos\frac{\pi-\alpha-\beta}{2}}[/latex]   Вычислим отдельно числитель и знаменатель   Числитель равен   [latex]\sin\frac{\pi-\alpha-\beta}{2}=\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\alpha+\beta}{2}\right)=\sin\frac{\pi}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}-\cos\frac{\pi}{2}\sin\frac{\alpha+\beta}{2}=[/latex]   [latex]=1*\cos\frac{\alpha+\beta}{2}-0*\sin\frac{\alpha+\beta}{2}=\cos\frac{\alpha+\beta}{2}[/latex]   Знаменатель равен [latex]\cos\frac{\pi-\alpha-\beta}{2}=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\alpha+\beta}{2}\right)=\cos\frac{\pi}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}+\sin\frac{\pi}{2}\sin\frac{\alpha+\beta}{2}=[/latex]   [latex]=0*\cos\frac{\alpha+\beta}{2}+1*\sin\frac{\alpha+\beta}{2}=\sin\frac{\alpha+\beta}{2}[/latex]   Значит   [latex]\tan\frac{\pi-\alpha-\beta}{2}=\frac{\cos\frac{\alpha+\beta}{2}}{\sin\frac{\alpha+\beta}{2}}=\cot\frac{\alpha+\beta}{2}[/latex]   Подставим в исходную формулу (*)   [latex]\tan\frac{\alpha}{2}\tan\frac{\beta}{2}+\tan\frac{\beta}{2}\cot\frac{\alpha+\beta}{2}+\cot\frac{\alpha+\beta}{2}\tan\frac{\alpha}{2}=[/latex]   [latex]=\tan\frac{\alpha}{2}\tan\frac{\beta}{2}+\cot\frac{\alpha+\beta}{2}*(\tan\frac{\beta}{2}+\tan\frac{\alpha}{2})=[/latex]   [latex]\tan\frac{\alpha}{2}\tan\frac{\beta}{2}+\cot\frac{\alpha+\beta}{2}*\left(\frac{\sin\frac{\beta}{2}}{\cos\frac{\beta}{2}}+\frac{\sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}}\right)=[/latex]   [latex]=\tan\frac{\alpha}{2}\tan\frac{\beta}{2}+\cot\frac{\alpha+\beta}{2}*\left(\frac{\sin\frac{\beta}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}}+\frac{\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}}\right)=[/latex]   [latex]=\tan\frac{\alpha}{2}\tan\frac{\beta}{2}+\cot\frac{\alpha+\beta}{2}*\left(\frac{\sin\frac{\beta}{2}\cos\frac{\alpha}{2}+\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}}\right)=[/latex]   По формуле синуса суммы sin(x+y)=sinx*cosy+sinycosx преобразуем числитель в скобках [latex]=\tan\frac{\alpha}{2}\tan\frac{\beta}{2}+\cot\frac{\alpha+\beta}{2}*\frac{\sin\frac{\alpha+\beta}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}}=[/latex]   Снова распишем котангенс по определению   [latex]=\tan\frac{\alpha}{2}\tan\frac{\beta}{2}+\frac{\cos\frac{\alpha+\beta}{2}}{\sin\frac{\alpha+\beta}{2}}*\frac{\sin\frac{\alpha+\beta}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}}=[/latex]   Проведем сокращения   [latex]=\tan\frac{\alpha}{2}\tan\frac{\beta}{2}+\frac{\cos\frac{\alpha+\beta}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}}=[/latex]   По формуле [latex]\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}[/latex] преобразуем выражение далее   [latex]=\frac{\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}}+\frac{\cos\frac{\alpha+\beta}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}}=\frac{\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}+\cos\frac{\alpha+\beta}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}}[/latex]   Распишем в числителе косинус суммы по формуле cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny   После несложных преобразований и сокращения, получим нужное   [latex]=\frac{\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}+\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}-\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}}=\frac{\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}}=1[/latex]    

В треугольнике :  α+β+γ=π  ⇒  γ=π-α-β=π-(α+β)  tgα/2*tgβ/2+tgβ/2*tgγ/2+tgγ/2*tgα/2=              =tgα/2*tgβ/2+tgβ/2*tg(π/2-(α+β)/2)+tg(π/2-(α+β)/2)*tgα/2= =[ tg(π/2-a)=ctga по формулам приведения]= =tgα/2*tgβ/2+ctg(α+β)/2 * (tgβ/2+tgα/2) =  [формула tga+tgb=sin(a+b)/cosacosb ] =     sinα/2 * sinβ/2             α+β       sin(α+β)/2            sinα/2 * sinβ/2            cos(α+β)/2  =---------------------- + ctg ------- * --------------------- = ----------------------- + ---------------- *      cosα/2 * cosβ/2                2      cosβ/2 * cosα/2     cosα/2 * cosβ/2       sin(α+β)/2         sin(α+β)/2             1/2[cos(α-β)/2-cos(α+β)/2] + cos(α+β)/2     1/2(cos(α-β)/2+cos(α+β)/2) * --------------------- =--------------------------------------------------------=-------------------------------------- =    cosα/2 *cosβ/2                            cosα/2 * cosβ/2                                 cosα/2 * cosβ/2      1/2 * 2 * (cosα/2 * cosβ/2) =------------------------------------ = 1            cosα/2 * cosβ/2