Докажите, что последовательность заданная формулой сn=(3n-1)/(5n+4) монотонно возрастающая и ограниченная. Найдите число к которому стремится сn.

Подставляя значения n=1, 2, ..., n, .... убеждаемся, что последовательность возрастающая. Находим предел (при n стремящемся к бесконечности) lim ((3*n-1)/(5*n+4)) = 3/5 - последовательность  ограниченная и стремится к числу 3/5

Найдем разность между двумя соседними членами. [latex]c_{n+1}-c_n=\dfrac{3n+2}{5n+9}-\dfrac{3n-1}{5n+4}=\dfrac{(3n+2)(5n+4)-(3n-1)(5n+9)}{(5n+4)(5n+9)}=\\=\dfrac{17}{(5n+4)(5n+9)}[/latex] Из выражения для разности очевидно, что сама разность положительна - числитель и знаменатель положительны. Тогда последовательность возрастающая. Я утверждаю, что все члены не больше 3/5. Действительно, cn < 3n / 5n = 3/5 (я уменьшила знаменатель и увеличила числитель, от этого дробь стала больше). Для успокоения можно всё написать по-честному: [latex]\dfrac35-c_n=\dfrac35-\dfrac{3n-1}{5n+4}=\dfrac{(15n+12)-(15n-5)}{25n+20}=\dfrac{17}{25n+20}>0[/latex] К слову, удалось доказать, что искомый предел равен 3/5: понятно, что 17/(25n + 20) стремится к нулю при больших n. А по определению число А называется пределом последовательности xn, если |xn - A| стремится к нулю. Найти предел можно было и так: разделим числитель и знаменатель на n [latex]\dfrac{3n-1}{5n+4}=\dfrac{3-\frac1n}{5+\frac4n}\to\dfrac{3-0}{5+0}=\dfrac35[/latex]