Докажите что при любом целом n значение трехчлена 2n^3-3n^2+n кратно 6

Question

Докажите что при любом целом n значение трехчлена 2n^3-3n^2+n кратно 6

Алгебра

Гость

Ответ(ы) на вопрос:

Гость

2n^3-3n^2+n=n(2n^2-3n+1)=2n(n-1)(n-0,5)=n(n-1)(2n-1) Подставив числа от 6 до 11 можно убедится в том что во всех случаях, выражение делится на 3 и четное, а значит делится и на 6. Далее цикл повторяется, значит выражение кратно 6 при всех целых n.

Accepted Answer

2n^3 - 3n^2 + n=n(2n^2-3n+1)=n(n-1)(2n-1) n(n-1) делится на 2. Пусть при этом n(n-1) не делится на 3, тогда n-1 дает остаток 1 при делении на 3, n остаток 2. А их сумма n+(n-1)=2n-1 дает остаток 2+1=3, т.е. 2n-1 делится на 3. Т.о., при любых n n(n-1)(2n-1) делится на 2 и 3, значит., делится на 6.