Докажите что при любом целом значении x выражение x^3+41x делится на 6

Множество целых чисел [latex]\mathbb{Z}[/latex] разделим на три класса: [latex]\mathbb{Z} = \mathbb{Z}_0 + \mathbb{Z}_1 + \mathbb{Z}_2[/latex], где + обозначает операцию объединения и изначает, что множества [latex]\mathbb{Z}_0,\mathbb{Z}_1,\mathbb{Z}_2,[/latex] дисъюнктны. [latex] \mathbb{Z}_0 = \{a \in \mathbb{Z} | \exists{b \in \mathbb{Z}: a = b*3}\} [/latex] [latex] \mathbb{Z}_1 = \{a \in \mathbb{Z} | \exists{b \in \mathbb{Z}: a = b*3+1}\} [/latex] [latex] \mathbb{Z}_2 = \{a \in \mathbb{Z} | \exists{b \in \mathbb{Z}: a = b*3+2}\} [/latex] Данное разделение множества целых чисел существует по принципу решета Эрастофена. [latex]x \equiv 0\ \ (mod 6) \Leftrightarrow x \equiv 0 \ \ (mod 2) \land x \equiv 0 \ \ (mod3)[/latex] [latex]x^3 + 41x = x(x^2 + 41)[/latex]. Так как при четном x выражение делится на два, а при нечетном [latex]x^2 + 41[/latex] делится на два (сумма нечетных чисел четна), то есть выражение все равно делится на два, первое условие выполнено. Докажем, что x делится на 3: Так как [latex]x \in \mathbb{Z} = \mathbb{Z}_0 + \mathbb{Z}_1 + \mathbb{Z}_2[/latex], то рассмотрим три случая: 1) [latex]x \in \mathbb{Z}_0 \Rightarrow x^3 + 41x \equiv 0 \ \ (mod 3)[/latex] так как [latex]x^3 + 41x = x(x^2+41)[/latex]. 2) [latex] x \in \mathbb{Z}_1 \Rightarrow \exists{b \in \mathbb{Z} : x = 3b + 1}[/latex] [latex]x^2 + 41 = (3b)^2 + 2*(3b)*41 + 1 + 41 = 3*m + 42 = 3*n[/latex] для каких-то [latex]m,n \in \mathbb{Z}[/latex], то есть [latex]x^3+41x \equiv 0 \ \ (mod 3)[/latex]. 3) [latex] x \in \mathbb{Z}_2 \Rightarrow \exists{b \in \mathbb{Z} : x = 3b + 2}[/latex]. [latex]x^2 + 41 = (3b)^2 + 2*(3b)*41 + 4 + 41 = 3m + 45 = 3n[/latex] для каких-то [latex]m,n \in \mathbb{Z}[/latex], то есть [latex]x^3+41x \equiv 0 \ \ (mod 3)[/latex]. Тогда для всех [latex]x \in \mathbb{Z}[/latex] выражение [latex]x^3+41x[/latex] делится на 6.