Докажите, что радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, в два раза меньше радиуса окружности, описанной около него.

Пусть сторона равностороннего треугольника равна а см. Высота, проведённая к основанию равностороннего треугольника, является ещё и медианой, поэтому делит основание пополам. Таким образом, образуются 2 прямоугольных треугольника с гипотенузами а, катетом а/2 и общим катетом. Этот общий катет (по совместительству, высота равностороннего треугольника) найдём через теорему Пифагора: [latex] \sqrt{ a^{2}- (\frac{a}{2}) ^{2} } = \frac{a \sqrt{3} }{2} [/latex].  Центр вписанной и описанной окружностей равностороннего треугольника совпадают и находятся в точке пересечения высот треугольника. Этой точкой высоты делятся в отношении 2:1, считая от вершины. Тогда радиус описанной окружности составляет 2/3 высоты треугольника, а радиус вписанной окружности 1/3 высоты, то есть [latex]\frac{a\sqrt{3}}{3} [/latex] и [latex] \frac{a \sqrt{3} }{6}[/latex] соответственно. Разделим радиус вписанной окружности на радиус вписанной окружности и получим 2. Что и требовалось доказать.