Докажите, что середины сторон ромба являются вершинами параллелограмма. 

АВСД ромб.  М - середина АВ. Н - середина ВС. К - середина СД. Р - середина АД. Проведи диагональ ВД. Получили равные по 3 признаку  треугольники АВД и СВД. МР и НК средние линии этих треугольников соответственно. Из равенства тр-ков следует равенство их средних линий. Значит МР = НК. Средняя линия параллельна стороне, которую она не пересекает, т.е. МР паралельно ВД и НК парал-но ВД.  Теорема: если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой. Значит МР и НК параллельны и равны и являются противоположными сторонами параллелограмма. Аналогично доказываем равность и параллельность МН и РК. Проводим диагональ АС.Тр-ки АВС и АДС равнобедренные и равны по 3 признаку. МН и РК средние линии Они парал-ны АС значит параллельны между собой и равны как средние линии равных треуг-ков. Отсюда, четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны и равн между собой, называется параллелограмом. Вдобавок, хотя этого и не требуется. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом. Значит смежные стороны параллелограмма перпендикулярны, следовательно, данный параллелограмм является также прямоугольником.  Это я уже так вдобавок.