Докажите, что в произвольном треугольнике прямые , проходящие через вершины и делящие периметр треугольника пополам, пересекаются в одной точке.

Я тоже тут отмечусь, уж простите :) Треугольник ABC, стороны (противолежащие углам) a, b, c, Точка K делит сторону BC = a на отрезки CK = x и BK = a - x; Точка M делит сторону AC = b на отрезки AM = y и CM = b - y; Точка N делит сторону AB = c на отрезки BC = z и AC = c - z; Получается из условия деления периметра пополам b + x = c + a - x; x = (c + a - b)/2 = p - b; CK = p - b; где p - полупериметр ABC; p  = (a + b + c)/2; a - x = BK = p - c; Аналогично AM = p - c; CM = p - a; BN = p - a; AN = p  - b; То есть AN*BK*CM/(BN*AM*CK) = (p - b)*(p - c)*(p - a)/((p - a)*(p - c)*(p - b)) = 1; Остается сослаться на обратную теорему Чевы.