Докажите, что значение выражение   [latex](5+10^n)(1+10+...+10^n)+1[/latex]   при любом натуральном n можно представить в виде квадрата натурального числа

не можно n=1, (5+10)(1+10)+1=15*11+1=166, ближайшие квадраты 12^2=144, 13^2=169, ошибка в условии

  [latex](5 + 10^n)(1 + 10 + ... + 10^{n-1}) + 1 =\\\\ (5 + 10^n)(\frac{10^n - 1}{10 - 1}) + 1 =\\\\ \frac{(5 + 10^n)(10^n - 1)}{9} + \frac{9}{9} =\\\\ \frac{5*10^n - 5 + 10^{2n} - 10^n + 9}{9} =\\\\ \frac{10^{2n} + (5 - 1)10^n + (9 - 5)}{9} =\\\\ \frac{10^{2n} + 4*10^n + 4}{9} =\\\\ \frac{(10^n + 2)^2}{3^2} = \left(\frac{10^n + 2}{3} \right)^2\\\\\\ \boxed{ \mathbb{OTBET}: (5 + 10^n)(1 + 10 + ... + 10^{n-1}) + 1 = \left(\frac{10^n + 2}{3} \right)^2}[/latex]       [latex]10^n + 2[/latex] делится на 3, так как сумма цифр этого числа делится на три. Если говорить точно, сумма цифр этого числа всегда равна трём, для натуральных n.   Если же рассматривать исходное условие, то нельзя, так как для, например, n = 1, выражение равно 15*11 + 1 = 166, а число 166 не является квадратом натурального числа.