Докажите равенствоcos[latex] \frac{ \pi }{7} [/latex]cos[latex] \frac{4 \pi }{7} [/latex]cos[latex] \frac{5 \pi }{7} [/latex]=[latex] \frac{1}{8} [/latex]

Нестандартное доказательство  Как  известно по теореме Виета для кубического уравнения для корней справедливо такое соотношение , если [latex]x_{1};x_{2};x_{3}\\ x_{1}*x_{2}*x_{3}=\frac{a}{d}[/latex] где уравнение  [latex]ax^3+bx^2+cx+d=0[/latex] то есть нам надо что бы числа [latex]x_{1}=cos\frac{\pi}{7}\\ x_{2}=cos\frac{4\pi}{7}\\ x_{3}=cos\frac{5\pi}{7}[/latex]  были корнями  уравнения !  воспользуемся тем что  [latex]cos\frac{\pi}{7}=-cos\frac{6\pi}{7}[/latex] разложим левую часть в такой вид  [latex]cos\frac{\pi}{7}=sin^6\frac{\pi}{7}-cos^6\frac{\pi}{7} [/latex][latex]+15sin^2\frac{\pi}{7}*cos^4\frac{\pi}{7}-15sin^4\frac{\pi}{7}*cos^2\frac{\pi}{7}[/latex] преобразуем его в такой вид  [latex]cos\frac{pi}{7}=(1-cos^2\frac{\pi}{7})^3-cos^6\frac{\pi}{7}+[/latex][latex]15(1-cos^2\frac{\pi}{7})*cos^4\frac{\pi}{7}-15(1-cos^2\frac{\pi}{7})^2*cos^2\frac{\pi}{7} [/latex] теперь положим [latex] cos\frac{\pi}{7}=x[/latex] получим уравнение  [latex](1-x^2)^3-x^6+15(1-x^2)*x^4-15(1-x^2)^2*x^2-x=\\ [/latex] она равна    [latex](1-x)(4x^2-2x-1)(8x^3-4x^2-4x+1)=0\\ 8x^3-4x^2-4x+1=0[/latex] теперь корни это кубического уравнения будут числа  [latex]-cos\frac{4\pi}{7}[/latex]  [latex]cos\frac{\pi}{7}\\ [/latex] [latex]cos\frac{5\pi}{7}[/latex] и как ранее было сказано достаточно поделить   [latex]cos\frac{\pi}{7}*cos\frac{4\pi}{7}*cos\frac{5\pi}{7}=\frac{1}{8}[/latex]