Докажите теорему синусов

Доказательство теоремы синусов. Пусть есть треугольник, вписанный в окружность. Обозначим его как ABC.Что бы доказать всю теорему, так как треугольник имеет произвольные размеры, можно доказать только то, что соотношение 1-ной произвольной стороны к противолежащему углу соответствует 2R. Допустим, это будет 2R = a/sin , т.е. если смотреть по чертежу 2R = BC / sin A.  Проведем диаметр |BG| для описанной окружности. Из свойства углов, которые вписаны в окружность, угол GCB будет прямым, а угол CGB равен либо , когда точки A и G находятся по одну сторону от прямой BC, или − в противоположном варианте. Так как sin(−)=sin, в обоих случаях получаем: a=2R sin  Повторяем это же рассуждение для оставшихся сторон треугольника:  Теорема синусов доказана.

Пусть в треугольнике ABC AB=c, BC=a, CA=b. Докажем, что a/sinA=b/sinB=c/sinC По теореме о площади треугольника S=1/2ab*sinC, S=1/2bc*sinA, S=1/2ca*sinB Из первых двух равенств получаем: 1/2ab*sinC=1/2bc*sinA, откуда a/sinA=c/sinC. Точно так же из второго и третьего равенств следует, a/sinA=b/sinB.  Итак, a/sinA=b/sinB=c/sinC. Теорема доказана