Докажите,что число 100....004 (между 1 и 4 стоит любое число нулей)  не является квадратом целого числа 

Число [latex]10.....04[/latex] можно записать как    [latex] 10^n+4[/latex] где [latex]n\in N[/latex] Положим что существует такое число [latex]x^2[/latex] , что  [latex]10^n+4=x^2\\\\ [/latex]  воспользуемся таким фактом, квадрат числа сравним по модулю [latex]3[/latex]   c [latex]1 [/latex] и [latex]0[/latex].  Слева число четное так как оканчивается на цифру [latex]4[/latex],  так как число   [latex]10^n\equiv1 \ (mod3)[/latex] а число  [latex]4[/latex]  с [latex]1[/latex], то остаток равен [latex]2[/latex]  что не верно  , не может быть что слева делиться а справа нет  ч.т.д

10^k+4=x^2  10^k=x^2-4=(x-2)(x+2)  число 10^k  может иметь  делитель 10^n  5^n  2^n   n<=k тогда  если  эти  числа будут делителем x-2,то  не одни из них  не будет делителем x+2 (на 4  больше) То есть  такое невозможно.