Доведіть, що коли додатні числа a, b i c- три послідовні числа арифметичної прогресії, то [latex]\frac{1}{ \sqrt{a}+ \sqrt{b} } + \frac{1}{ \sqrt{b} + \sqrt{c} } = \frac{2}{ \sqrt{a}+ \sqrt{c} } [/latex]

так як a,b і c - три послідовні числа арифметичної прогресії, нехай d- різниця арифметичної прогресіїї, тоді [latex]b=a+d;c=b+d[/latex] [latex]d=b-a;d=c-b;d+d=b-a+c-b;2d=c-a;d=\frac{c-a}{2}[/latex] [latex]x^2-y^2=(x-y)(x+y)[/latex] [latex](\sqrt{x})^2=x[/latex] ------------------ [latex]\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}=\\\\\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{a+d}}+\frac{1}{\sqrt{c-d}+\sqrt{c}}=\\\\\frac{1*(\sqrt{a+d}-\sqrt{a})}{(\sqrt{a+d}-\sqrt{a})(\sqrt{a+d}+\sqrt{a})}+\frac{1*(\sqrt{c}-\sqrt{c+d})}{(\sqrt{c}-\sqrt{c-d})(\sqrt{c}+\sqrt{c-d})}=\\\\\frac{\sqrt{a+d}-\sqrt{a}}{(\sqrt{a+d})^2-(\sqrt{a})^2}+\frac{\sqrt{c}-\sqrt{c-d}}{(\sqrt{c})^2-(\sqrt{c-d})^2}=\\\\\frac{\sqrt{a+d}-\sqrt{a}}{a+d-a}+\frac{\sqrt{c}-\sqrt{c-d}}{c-c+d}=\frac{\sqrt{a+d}-\sqrt{a}+\sqrt{c}-\sqrt{c-d}}{d}=\\\\\frac{\sqrt{b}-\sqrt{a}+\sqrt{c}-\sqrt{b}}{\frac{c-a}{2}}=\frac{2(\sqrt{c}-\sqrt{a})}{(\sqrt{c}-\sqrt{a})(\sqrt{c}+\sqrt{a})}=\frac{2}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}[/latex] доведено