Доведіть, що коли x больше 0, y больше 0, z больше 0, то ( 1+y/x)(1+z/y)(1+x/z)≥8.

A = (1 + y/x)(1 + z/y)(1 + x/z) = (1 + y/x + z/y + y/x*z/y)(1 + x/z) = = 1 + y/x + z/y + z/x + x/z + y/x*x/z + z/y*x/z + z/x*x/z = = 1 + (y/x+x/y)+(z/y+y/z)+(z/x+x/z) + 1 = 2 + (y/x+x/y)+(z/y+y/z)+(z/x+x/z) Каждая скобка - это сумма числа и обратного к нему числа, t + 1/t. Такая сумма не меньше 2 при t > 0 (и не больше -2 при t < 0). Поэтому, если x > 0; y > 0; z > 0, то  A >= 2 + 2 + 2 + 2 = 8 Причем равенство A = 8 будет только при x = y = z = 1.