Две окружности Первая окружность построена на ABAB, как на диаметре, а вторая — на BCB
Две окружности Первая окружность построена на ABAB, как на диаметре, а вторая — на BCBC. Прямая, проходящая через точку AA, повторно пересекает первую окружность в точке DD и касается второй окружности в точке EE, BD=50BD=50, BE=70BE=70. Найдите радиус меньшей из окружностей, если точки AA, BB и CC лежат на одной прямой.
Гость
Ответ(ы) на вопрос:
Гость Рисунок я нарисовал.
Углы ADB = BEC = 90, как опирающиеся на диаметры окружностей.
BDE = 90, как смежный с прямым углом.
BDE - прям-ный тр-ник, катет BD = 50, гипотенуза BE = 70, значит, катет
DE = √(BE^2 - BD^2) = √(70^2 - 50^2) = √(4900-2500) = √2400 = 10√24
sin DEB = cos DBE = 5/7; sin DBE = cos DEB = √24/7
cos DEC = cos(DEB+BEC) = cos(DEB+90) = -sin DEB = -5/7
Добавим углы BAD = а и BCE = b, которые пока неизвестны.
ABD = 90-a, CBE = 90-b
ABD + DBE + EBC = 90-a + DBE + 90-b = 180 + DBE - a - b = 180
DBE = a + b = arccos(5/7)
Дальше можно подобраться к теореме косинусов
AD = BD/tg a = 50/tg a; CE = BE/tg b = 70/tg b
AB = 2R = BD/sin a = 50/sin a; BC = 2r = BE/sin b = 70/sin b
По теореме косинусов из тр-ника ACE
(AB+BC)^2 = (AD+DE)^2 + CE^2 - 2(AD+DE)*CE*cos DEC
(50/sin a + 70/sin b)^2 = (50/tg a + 10√24)^2+(70/tg b)^2 -
- 2(50/tg a+10√24)(70/tg b)(-5/7)
А из тр-ника ABE
AE^2 = AB^2 + BE^2 - 2*AB*BE*cos(ABD+DBE)
(50/tg a + 10√24)^2 =
= (50/sin a)^2 + 70^2 - 2*50/sin a*70*cos(90-a+arccos(5/7))
cos(90-a + arccos(5/7)) =
= cos(90-a)*cos( arccos(5/7) ) - sin(90-a)*sin( arccos(5/7) ) =
= sin a*5/7 - cos a*√(1-25/49) = 5/7*sin a - √24/7*cos a
Получили систему из 2 уравнений, из которой нужно найти углы а и b
{ (50/sin a + 70/sin b)^2 = (50/tg a + 10√24)^2+(70/tg b)^2 +
+ 100/tg b*(50/tg a+10√24)
{
(50/tg a + 10√24)^2 =
= (50/sin a)^2 + 4900 - 1000/sin a*(
5sin a - √24cos a)
Затем, зная угол b, нетрудно найти BC = 2r = 70/tg b.
Не нашли ответ?
Похожие вопросы