Две окружности радиусов 3 и 12 внешне касаются в точке К. Обе окружности касаются одной прямой: большая – в точке А, меньшая – в точке В. Прямая АК пересекает меньшую окружность в точке С, прямая ВК пересекает большую окружност...

   Впишем наши окружности , в  ось [latex]OXY[/latex] , так , что точка [latex] A(0;0)[/latex] , точка  [latex]B[/latex]  очевидно будет иметь координаты , равными [latex] x= \sqrt{(3+12)^2-(12-3)^2} = 12 , то есть [/latex] [latex]B(12;0)[/latex]  Опишем уравнения окружности , и решим систему  [latex] \left \{ {{ (x-12)^2 + (y-3)^2 = 3^2 } \atop { x^2+(y-12)^2=12^2}} \right. [/latex]  Решениями системы, [latex] x= \frac{48}{5} ; y = \frac{24}{5}[/latex] то есть координаты [latex] K( \frac{48}{5}; \frac{24}{5} )[/latex].  Найдем координаты , точек [latex]C;D[/latex]  Уравнения прямой [latex]AС\\ 3x+4y=48\\ [/latex]   уравнения прямой другой [latex] 2x+y=24[/latex]   Решая их с полученными , уравнениями окружности          [latex](x-12)^2 + (y-3)^2 = 3^2 } \atop { 3x+4y=48 } [/latex]                           [latex] C(\frac{72}{5}: \frac{6}{5})[/latex]      [latex] x^2+(y-12)^2=12^2\\ 2x+y=24 \\ [/latex]  [latex] D(0;24)[/latex]        То есть [latex] AD[/latex] диаметр окружности   [latex]BC = \frac{6\sqrt{5}}{5}[/latex]  [latex] CD = \frac{6\sqrt{505}}{5}[/latex]       [latex] BD = \sqrt{12^2+24^2 } = 12\sqrt{5}[/latex]      Откуда  [latex] S_{BCD} = 36[/latex]     Значит [latex] S_{ABCD} = 36+S_{ABD} = \frac{24*12}{2}+36 = 180[/latex]