Две задачи , задачи во вложении ____________________________

1) Общее уравнение движения колебаний математического маятника выражается, как: x = Acos(ωt+δ) , где: A – амплитуда колебаний, ω = √[g/L] – циклическая частота колебаний, а δ – начальная фаза колебаний. Из элементарного дифференцирования понятно, что скорость и ускорение выразятся, как: v = –Aωsin(ωt+δ) , и a = –Aω²cos(ωt+δ) ; Сказано, что маятник отклоняется максимально до угла θ, а значит: A/L=θ . Сказано, что в начальный t=0 момент угол отклонения θo=xo/L , Сказано, что в начальный момент t=0 скорость шарика vo и шарик движется на увеличение отклонения, т.е. скорость положительна. Получаем уравнения: Lθo = Lθcosδ , vo = –Lθωsinδ , cosδ = θo/θ ; |sinδ| = √[1–cos²δ] = √[1–(θo/θ)²] ; 0 < vo = –Lθωsinδ = Lθω|sinδ| = Lθ √[g/L] √[1–(θo/θ)²] = √[Lg(θ²–θo²)] , vo = √[Lg(θ²–θo²)] , В момент максимального отклонения маятника шарик на мгновение «замрёт», это будет точкой разворота в колебании. В этот момент времени v=0 . vo так же можно найти и из закона сохранения энергии. При смещении шарика на некоторую величину x от равновесия, как легко понять из теоремы Пифагора, он оказывается на √[L²–x²] ниже точки подвеса: Обозначим: x/L = φ << 1 : √[L²–x²] = L√[1–φ²] ≈ L√[1–2(φ²/2)+(φ²/2)²] = L√[(1–(φ²/2))²] = L(1–(φ²/2)) = = L–Lφ²/2 – это расстояние по вертикали от шарика до точки подвеса. При этом, получается, что он поднимается по отношению к точке равновесия на величину: Lφ²/2, А значит, потенциальная энергия шарика от смещения выражается, как: mgLφ²/2. Полная механическая энергия должна сохраняться, а поэтому: mgLφ²/2 + mv²/2 = const; gLφ² + v² = const; В частности: gLθo² + vo² = gLθ²; Откуда: vo² = gLθ² – gLθo² ; vo² = √[gL(θ²–θo²)] ; 2) При движении в центральном поле момент сил относительно центра вращения равен нулю, а значит, момент импульса сохраняется. Стало быть из ЗСМИ: mro vo = mrv, поскольку планета движется по эллипсу, а r и ro – образуют большую полуось, которая перпендикулярная лини эллипса в точках пересечения. С другой стороны сохраняется и полная механическая энергия, выражаемая, как: mv²/2–GMm/r = const ; v²/2–GM/r = vo²/2–GM/ro ; v²/2–GM/r = v²r²/[2ro²]–GM/ro ; v²r²/ro²–v² = 2GM/ro–2GM/r ; v²(r²/ro²–1) = 2GM(1/ro–1/r) ; v²r²(1/ro²–1/r²) = 2GM(1/ro–1/r) ; v²r²(1/ro+1/r) = 2GM ; v² = 2GM/[r²(1/ro+1/r)] ; ОТВЕТ: v = 1/r √[2GM/(1/ro+1/r)] ; Аналогично или из закона сохранения момента импульса ЗСМИ: vo = 1/ro √[2GM/(1/ro+1/r)] .