Двое играют в игру: на доску выписывают натуральное число, а затем по очереди они вычитают из числа на доске, квадрат, не превосходящий этого числа, и полученную разность вместо исходного числа записывают на доске, квадрат, не ...

Предположим противное: всего чисел, для которых выигрывает второй игрок конечно. Пусть всего их c: {[latex]x_1, x_2, ... x_c[/latex]}. Возьмём произвольное число y, для которого выигрывает первый игрок. Понятно, что должно существовать такое z, что [latex]y - z^2 = x_i[/latex] для некоторого i. То есть утверждение задачи эквивалентно тому, что существует некоторое конечное множество A такое, что любое натурально число либо принадлежит A, либо может быть представлено как [latex]z^2[/latex]  + элемент из А. (z  - натуральное). Предположим, что это так. Тогда возьмём отрезок [1, m]. Далее будем брать элемент из A и прибавлять к нему квадраты натуральных чисел (1, 4, 9 ...) и если это число лежит в промежутке [1, m] увеличивать некий счётчик count. Понятно, что для элемента xi мы увеличим счётчик на [latex]\sqrt{m - x_i}[/latex]. Но тогда когда мы сделаем это для каждого элемента из A, в счётчике будет [latex][\sqrt{m - a_1}] + [\sqrt{m - a_2}] + ... + [\sqrt{m - a_c}] \ \textless \ = [\sqrt{m}] + ... + [\sqrt{m}] = [/latex] [latex]c[\sqrt{m}] \leq c\sqrt{m}[/latex], но так как m растёт быстрее, чем [latex]c\sqrt{m}[/latex], то для некоторого m в промежутке [1...m] будут числа, не представимые в виде [latex]x_i + z^2[/latex], приходим к противоречию, а значит утверждение задачи истинно. Замечание 1: понятно, что count >= чем чисел в промежутке [1, m], которые представимы как xi^2 + z^2. Замечание 2: [x] - целая часть числа х (или наибольшее целое число, не превосходящее x).