Если число будучи разделено на 9 дает остаток 1 или 8 то квадрат этого числа, делённый на 9, дает остаток 1. Докажите

Если число при делении на 9 дает остаток 1, то оно имеет вид 9k+1, где k - некоторое целое число   Квадрат этого числа [latex](9k+1)^2=(9k)^2+2*(9k)*1+1^2=81k^2+18k+1=\\ 9*9k^2+9*2k+1=9(9k^2+2k)+1[/latex], а значит при делении на 9 даст остаток 1   Если число при делении на 9 дает остаток 8, то оно имеет вид 9l+1, где l - некоторое целое число   Квадрат этого числа [latex](9l+8)^2=(9l)^2+2*(9l)*8+8^2=81l^2+144l+64=\\ 9*9l^2+9*16l+7*9+1=9(9l^2+16k+7)+1[/latex], а значит при делении на 9 даст остаток 1 Доказано