Груз массой 40 кг касается вертикально стоящей пружины на асфальте с коэффициентом жесткости 50 Н/м, не деформируя её. Через какое время он достигнет максимальной скорости при предоставлении ему свободы? При деформации пружина ...

Численное значение ускорения свободного падения не играет никакой роли. И на Луне и на Марсе время достижения максимальной скорости было бы одинаковым. Отличалась бы только сама эта максимальная скорость. Поскольку, как хорошо известно, частота пружинных колебаний в продольном однородном потенциальном поле происходят с той же частотой, что и в его отсутствии. Каждую четверть периода гармонических колебаний – модуль скорости меняет своё значение от нулевого до амплитудного и наоборот. БЕЗ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ФАКТА НЕИЗМЕННОМТИ ПЕРИОДА КОЛЕБАНИЙ: [latex] t = \frac{T}{4} = \frac{1}{4} \cdot 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{k} } = \frac{\pi}{2} \sqrt{ \frac{m}{k} } \ ; [/latex] [latex] t = \frac{\pi}{2} \sqrt{ \frac{m}{k} } \approx \frac{\pi}{2} \sqrt{ \frac{40}{50} } \approx 1.4 [/latex]    сек ; ВТОРОЙ СПОСОБ с доказательством неизменности периода: Будем для начала откладывать координату вниз от начального положения груза. На груз всё время будет действовать сила: [latex] F = mg - kx = - ( kx - mg ) = - k ( x - \frac{mg}{k} ) \ ; [/latex] Теперь станем откладывать координату от точки    [latex] x_o = \frac{mg}{k} [/latex]    и получим смещённую координату: [latex] x_c = x - x_o \ ; [/latex]    и теперь уже можем записать уравнение для силы так: [latex] F = - k ( x - x_o ) = - k x_c \ ; [/latex] [latex] ma = - k x_c \ ; [/latex] [latex] mx'' = mx_c'' = - k x_c \ ; [/latex] Последнее – это уравнение гармонических колебаний с циклической частотой: [latex] \omega = \sqrt{ \frac{k}{m} } \ , [/latex]    и периодом: [latex] T = \frac{ 2 \pi }{ \omega } = 2 \pi \sqrt{ \frac{k}{m} } \ , [/latex]    нас интересует четверть-период, так что: [latex] t = \frac{T}{4} = \frac{\pi}{2} \sqrt{ \frac{m}{k} } \approx \frac{\pi}{2} \sqrt{ \frac{40}{50} } \approx 1.4 [/latex]    сек ; ТРЕТИЙ СПОСОБ с доказательством неизменности периода: На груз всё время будет действовать сила: [latex] F = mg - kx = - ( kx - mg ) = - k ( x - \frac{mg}{k} ) \ ; [/latex] [latex] ma = - k ( x - \frac{mg}{k} ) \ ; [/latex] [latex] mx'' = - k ( x - \frac{mg}{k} ) \ ; [/latex] [latex] m( x - \frac{mg}{k} )'' = - k ( x - \frac{mg}{k} ) \ ; [/latex] Это уравнение гармонических колебаний с циклической частотой: [latex] \omega = \sqrt{ \frac{k}{m} } \ , [/latex]    и периодом: [latex] T = \frac{ 2 \pi }{ \omega } = 2 \pi \sqrt{ \frac{k}{m} } \ , [/latex]    нас интересует четверть-период, так что: [latex] t = \frac{T}{4} = \frac{\pi}{2} \sqrt{ \frac{m}{k} } \approx \frac{\pi}{2} \sqrt{ \frac{40}{50} } \approx 1.4 [/latex]    сек ; ЧЕТВЁРТЫЙ СПОСОБ с доказательством неизменности периода: Будем откладывать координату вниз от начального положения груза. По закону сохранения энергии: [latex] - mgx + \frac{kx^2}{2} + \frac{mv^2}{2} = const \ ; [/latex] Возьмём производную от обеих частей уравнения: [latex] - mgx' + kxx' + mvv' = 0 \ ; [/latex] [latex] mgv - kxv = mvx'' \ ; [/latex] [latex] mg - kx = mx'' \ ; [/latex] [latex] - k ( x - \frac{mg}{k} ) = mx'' \ ; [/latex] [latex] ( x - \frac{mg}{k} )'' = - \frac{k}{m} ( x - \frac{mg}{k} ) \ ; [/latex] Это уравнение гармонических колебаний с циклической частотой: [latex] \omega = \sqrt{ \frac{k}{m} } \ , [/latex]    и периодом: [latex] T = \frac{ 2 \pi }{ \omega } = 2 \pi \sqrt{ \frac{k}{m} } \ , [/latex]    нас интересует четверть-период, так что: [latex] t = \frac{T}{4} = \frac{\pi}{2} \sqrt{ \frac{m}{k} } \approx \frac{\pi}{2} \sqrt{ \frac{40}{50} } \approx 1.4 [/latex]    сек .