Интегрирование рациональных дробей. [latex] \int\limits \frac{x^2}{(x-2)(x^2+1)} \, dx [/latex]

Метод неопределённых коэффициентов [latex]\displaystyle \int\limits { \frac{x^2}{(x-2)(x^2+1)} } \, dx =\int\limits { \frac{Ax+B}{x^2+1} } \, dx +\int\limits { \frac{C}{x-2} } \, dx \boxed{=}[/latex] ********************************************************* [latex] \dfrac{x^2}{(x-2)(x^2+1)} = \dfrac{Ax+B}{x^2+1} + \dfrac{C}{x-2} [/latex] Приводя к общему знаменателю, получим [latex]x^2=(Ax+B)(x-2)+C(x^2+1)[/latex] Найдем коэффициенты A, B, C. [latex]x^2\,:\, \, 2^2=0+C\cdot (2^2+1)\\ x^0\,:\, \,0=B\cdot (-2)+C\\ x^1\,:\, \,1=-A-B+2C[/latex] Решая систему уравнений, получим: [latex]\begin{cases} & \text{ } C= \,\,\,\,\dfrac{4}{5} \\ & \text{ } B= \dfrac{2}{5} \\ & \text{ } A=\,\,\,\,\dfrac{1}{5} \end{cases}[/latex] ******************************************************* [latex]\displaystyle \boxed{=} \int\limits { \frac{ \frac{1}{5}x+ \frac{2}{5} }{x^2+1} } \, dx +\int\limits { \frac{ \frac{4}{5} }{x-2} } \, dx = \frac{1}{5} \int\limits { \frac{x+2}{x^2+1} } \, dx + \frac{4}{5} \int\limits { \frac{dx}{x-2} } \, =\\ \\ \\ = \frac{1}{5} \int\limits { \frac{xdx}{x^2+1} } \, + \frac{2}{5} \int\limits { \frac{dx}{x^2+1} } \, + \frac{4}{5} \int\limits { \frac{dx}{x-2} } \,= \\ \\ \\ = \frac{1}{10}\ln (x^2+1)+ \frac{2}{5} arctg x+ \frac{4}{5} \ln|x-2|+C[/latex]