Используя свойства монотонности функций, решите три уравнения [latex]1. \sqrt{x^{2} +5} + \sqrt{2x^{2}+1} =6 ; \frac{x^{4} +5x-6}{x} =10; \frac{24}{x+5} - \sqrt{x+3} =2 [/latex]

1) Сделаем замену [latex]x^2=t\geqslant0[/latex]. После ней уравнение примет вид [latex]\sqrt{t+5}+\sqrt{2t-1}=6[/latex] Функция, стоящая в левой части, монотонно возрастает как сумма двух монотонно возрастающих функций, поэтому она принимает каждое своё значение только один раз, и у уравнения (относительно t) может быть не более одного корня. Подбором находим t = 4. [latex]x^2=4[/latex] Ответ. [latex]\boxed{x=\pm2}[/latex] 2) Домножим всё на x, перенесём в одну часть: [latex]x^4-5x-6=0[/latex] Рассматриваем производную функции, стоящей в левой части: [latex](x^4-5x-6)'=4x^3-5[/latex] Производная отрицательна при [latex]x<\sqrt[3]{5/4}[/latex], положительна при [latex]x>\sqrt[3]{5/4}[/latex], поэтому функция на этих промежутках монотонно убывает и возрастает соответственно, и на каждом из этих промежутков может быть не более одного корня уравнения. Подбором находим x = -1, x = 2; других корней быть не может. Ответ. x = -1, x = 2 3) Для того, чтобы корень существовал, требуется, чтобы подкоренное выражение было неотрицательно, а при таких x знаменатель строго положителен. При [latex]x \geqslant -3[/latex] функция, стоящая в левой части, монотонно убывает, значит, у уравнения есть не более одного корень. Корень опять можно угадать, это x = 1. Ответ. x = 1.