Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию y=f(x)  и построить ее график. [latex]f(x)=\frac{1}{3}(x^{3}-8x^{2}+5x+14)[/latex]  График можно не строить, главное расписать какие точки брать. Заранее спасибо!   

1) Найдем нулю нашей функции. Для чего разложим на множители формулу, которой она задана, с помощью введения новых вспомогательных членов.     [latex]f(x)=\frac{1}{3}(x^{3}-4x^{2}-4x^{2}+4x+x+16-2)=[/latex] [latex]=\frac{1}{3}((x^{3}-4x^{2}+4x)-(4x^{2}-16)+(x-2))=[/latex] [latex]=\frac{1}{3}[x(x-2)^{2}-4(x-2)(x+2)+(x-2)]=[/latex] [latex]=\frac{1}{3}(x-2)(x(x-2)-4(x+2)+1)=\frac{1}{3}(x-2)(x^{2}-6x-7)[/latex]   Из [latex]f(x)=0[/latex] следует:     а)  [latex]x-2=0[/latex], отсюда [latex]x_{1}=2[/latex] - нуль функции     б) [latex]x^{2}-6x-7=0[/latex], [latex]D=(-6)^{2}-4*(-7)=36+28=64[/latex], отсюда    [latex]x_{2}=\frac{6+8}{2}=7[/latex], [latex]x_{3}=\frac{6-8}{2}=-1[/latex] - нули функции   Итак, функция [latex]f(x)[/latex] обращается в нуль в точках [latex]x_{1}[/latex], [latex]x_{2}[/latex] и [latex]x_{3}[/latex]    2) Найдем возможные точки экстремума нашей функции. Для чего найдем производную функции [latex]f(x)[/latex]:  [latex]f^{'}(x)=\frac{1}{3}(x^{3}-8x^{2}+5x+14)^{'}_{x}=\frac{1}{3}(3x^{2}-16x+5)[/latex]-----(1)    Разложим квадратный трехчлен, стоящий в правой части (1), на целые множители. Для чего найдем дискриминант этого квадратного трехчлена:         [latex]D=256-12*5=256-60=196=14^{2}[/latex], отсюда найдем корни:      [latex]x^{'}_{1}=\frac{16+14}{6}=5[/latex]     [latex]x^{'}_{2}=\frac{16-14}{6}=\frac{1}{3}[/latex]  ---------(2) Тогда с (2) выражение (1) примет вид:   [latex]f^{'}(x)=\frac{1}{3}*3*(x-5)(x-\frac{1}{3})[/latex]----------(3)   C помощью метода интервалов найдем промежутки, на которых производная функции [latex]f(x)[/latex] принимает положительные и отрицательные значения:     а) [latex]f^{'}(x)>0[/latex]  при x принадлежащем объединению промежутков   (-бесконечности; 1/3)U(5; +бесконечности )  б) [latex]f^{'}(x)<0[/latex]  при x принадлежащем промежутку (1/3; 5)   Известно, что промежутки, на которых производная функции положительна, являются промежутками возрастания функции! На промежутках, где [latex]f^{'}(x)<0[/latex], функция убывает!           Поскольку при переходе через точку x=1/3 производная меняет знак с плюса на минус, то эта точка - точка максимума  Поскольку при переходе через точку x=5 производная меняет знак с минуса на плюс, то эта точка - точка минимума. Итак,       [latex]x_{max}=\frac{1}{3}[/latex]         [latex]x_{min}=5[/latex]