Из круглого листа вырезать такой сектор, чтобы, свернув его, получить воронку наибольшей вместимости

Пусть [latex]x[/latex] - длина дуги, ограничивающей искомый сектор, вырезаемый из круглого листа. Пусть [latex]l[/latex] - радиус круглого листа и одновременно образующая конуса (воронки).  Тогда радианная мера дуги [latex]\alpha[/latex], ограничивающей искомый сектор равна:         [latex]\alpha=\frac{x}{l}[/latex] ---------(1)  Нам необходимо найти при каком [latex]x[/latex] объем воронки (правильного конуса) будет наибольшим. Запишем формулу объема [latex]V[/latex] конуса:       [latex]V=\frac{\pi*R^{2}*h}{3}[/latex] --------(2) где [latex]R[/latex] - радиус основания конуса; [latex]h[/latex] - высота конуса  Поскольку длина окружности основания конуса равна [latex]x[/latex], то отсюда              [latex]R=\frac{x}{2\pi}[/latex]--------(3) Высоту конуса найдем с помощью теоремы Пифагора:           [latex]h=\sqrt{l^{2}-R^{2}}[/latex]-------(4) Подставим в (4) вместо [latex]R[/latex] выражение (3):            [latex]h=\sqrt{l^{2}-(\frac{x}{2\pi})^{2}}[/latex]--------(5)   Подставим в (2) вместо [latex]R[/latex] и [latex]h[/latex] соотвественно выражения (3) и (5), получим:       [latex]V=A*x^{2}\sqrt{l^{2}-(\frac{x}{2\pi})^{2}}[/latex]--------(6)    где [latex]A=\frac{1}{12\pi}[/latex]    Очевидно, что естественной областью определения объема как функции от [latex]x[/latex] есть интервал:         [latex]00[/latex], найдем критическую точку:        [latex]x_{o}=\pi*l*\sqrt{\frac{8}{3}}[/latex], или         [latex]x_{o}=\frac{2{\pi}l\sqrt{6}}{3}[/latex]    Поскольку естественной области определения (7)  принадлежит только одна критическая точка [latex]x_{o}[/latex]  и поскольку на естественной области определения функция (6) принимает только положительные значения, то критическая точка [latex]x_{o}[/latex] - точка максимума функции (6). Другими словами, при [latex]x_{o}[/latex] объем воронки будет наибольшим. Теперь мы можем найти радианную меру искомого сектора, для чего подставим в (1) вместо [latex]x[/latex] критическую точку [latex]x_{o}[/latex]:     [latex]\alpha=\frac{x_{o}}{l}=\frac{2{\pi}l\sqrt{6}}{3l}=\frac{2{\pi}\sqrt{6}}{3}[/latex]