Из точки А, лежащей вне круга, проведены две касательные к нему, В и С - их точки касания. Докажите, что точка пересечения биссектрис треугольника АВС лежит на исходной окружности.

Решение: Пусть О – центр окружности, пусть Р – ближняя из точек пересечения окружности и отрезка АО. Пусть N – точка пересечения Тогда прямоугольные треугольники OAC и ОAB равны за катетом и гипотенузой(ОF=ОA, ОC=ОB – как радиусы).Значит из равности треугольников,AC=AB угол АOC=угол AOB(то же самое угол РOC=угол РOB) угол  OAC=угол OAB(то же самое угол  OРC=угол OРB ), значит АP – биссектриса угла А,(то же самое, что AN - биссектриса угла А ) AC=AB – значит треугольник ABC – равнобедренный Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, есть его высотой и медианой треугольник ABC – равнобедренный, AN - биссектриса угла А, значит угол ANB= угол ANC=90 градусов треугольник BOP – равнобедренный (BO=OP – как радиусы), значит угол PBO= угол BPO Пусть угол BOA= угол BOP= угол BON=х. Сумма углов треугольника равна 180. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов. Тогда с треугольника BOP  угол PBO= угол BPO=(180 -х)\2=90-х\2 с треугольника AOB угол OAB=90-х угол ABP= угол OAB- угол PBO=90-х-(90-х\2)=x\2 угол PBN=90-угол OAB- угол ABP=90-(90-x)-x\2=x\2 угол ABP= угол PBN, значит BP – биссектриса угла B. Итак, точка P- точка пересечения биссектрис треугольника ABC, что и требовалось доказать.