Из всех цилиндров с объемом 54П см^3, найтм цилиндр с наименьшей полной поверхностью

Объём цилиндра радиусом R и высотой h равен V=π*R²*h=54*π⇒R²*h=54. Площадь поверхности этого же цилиндра равна S=2*π*R*h=2*π*54/R=108*π/R. Таким образом, площадь поверхности будет тем меньше, чем больше радиус цилиндра. А высота цилиндра, видимо, определяется возможностью изготовителя цилиндра.

Формула нахождения объема цилиндра V=πr²h=54π. Выразим высоту h=54/r². Формула полной поверхности цилиндра S=2πr²+2πrh. Подставим в эту формулу h: S=2πr²+2πr*54/r²=2πr²+108π/r. Представим полученную формулу как функцию площади, тогда минимальная площадь цилиндра будет достигнута в точке экстремума. Для нахождения экстремума дифференцируем (находим производную): S'(r)=4πr-108π/r²; Приравниваем производную к нулю: 4πr-108π/r²=0; 4πr³=108π; 4r³=108; r³=27; r=3 (см). Находим значение h=54/r²=54/9=6 (см). Таким образом, минимальная площадь данного цилиндра будет достигнута при r=3 см и h=6 см. S=2πr(r+h)=2π*3(3+6)=6π*9=54π (см²)