Избавьтесь от иррациональности

[latex] \frac{ \sqrt{a+3} +2}{( \sqrt{a+3}-2 )( \sqrt{a+3}+2 )}= \frac{ \sqrt{a+3}+2 }{a+3-4}= \frac{ \sqrt{a+3}+2 }{a-1} [/latex]

[latex] \frac{1}{ \sqrt{a+3}-2 } = \frac{1}{ \sqrt{a+3}-2 } * \frac{\sqrt{a+3}+2 }{ \sqrt{a+3}+2 } = \frac{\sqrt{a+3}+2 }{(\sqrt{a+3}-2 )(\sqrt{a+3}+2 )} = \frac{\sqrt{a+3}+2}{a+3-4} [/latex] Так можно было умножить, потому что [latex]\sqrt{a+3}+2 \ \textgreater \ 0[/latex] и потому что умножение на выражение [latex] \frac{\sqrt{a+3}+2 }{\sqrt{a+3}+2 } [/latex] не изменяет области определения начального выражения. Второй скользкий момент было сделано умножение по формуле упрощенного умножения: [latex](\sqrt{a+3}+2)*(\sqrt{a+3}-2 )=( \sqrt{a+3} )^2-2^2=a+3-4=a-1[/latex] казалось бы что такого? А вот это же не всегда правда! [latex](\sqrt{a+3}+2)*(\sqrt{a+3}-2 )=[/latex] [latex]= \sqrt{a+3}* \sqrt{a+3}+ 2\sqrt{a+3}- 2 \sqrt{a+3}-4 = [/latex] [latex]=\sqrt{a+3}* \sqrt{a+3}-4 \neq a+3-4=a-1[/latex] Почему не равно, да потому что левое и правое выражения имеют разные области определения, в правое можно подставить любое действительное значение [latex]a[/latex], в левое же можно подставить лишь значение из интервала [latex][-3;+\infty)[/latex] Но мы можем это использовать в наших действиях, потому что в числителе сохраняется корень, который требует, что бы а как раз и было из указанного интервала (если не учитывать 1-цу). P.S. область определения и начального и конечного выражений это вот такой интервал [latex][-3;1)\cup(1;+\infty)[/latex]