Известно, что А и Б такие положительные действительные числа, для которых выполняется неравенство А + Б = А2 + Б2. Докажите, что А4 + Б4 больше или равна А3 + Б3. А3-А в третей степени, и в таком роде ..

Через первое условие распишем произведение ab. [latex] (a+b)^{2} = a^{2} + b^{2} + 2ab = a+b+2ab =\ \textgreater \ a+b = 2ab =\ \textgreater \ ab = \frac{a+b}{2} [/latex] Теперь распишем второе выражение: [latex]a^{4}+b^{4} = (a^{2}+b^{2})^{2} - 2a^{2}b^{2} = (a+b)^{2} - 2 \frac{(a+b)^{2}}{4} = \frac{(a+b)^{2}}{2} = \frac{a^{2}+b^{2}+2ab}{2}[/latex] = [latex] \frac{a+b}{2} +ab = a+b.[/latex] Теперь распишем сумму кубов: [latex]a^{3} + b^{3} = (a+b)*(a^{2}-ab+b^2) = (a+b)(a+b-ab)= \frac{(a+b)^{2}}{2} = [/latex] [latex] \frac{a^{2}+2ab+b^{2}}{2} = \frac{a+b}{2} + ab = a+b. [/latex] На выходе получаем, что нам надо доказать, что a+b ≥ a+b, что тривиально потому, что выражения слева и справа равны.